Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，過F且斜率為

3

的直線交C于A、B兩點，若

AF

=4

FB

，則C的離心率為（　�。�

• A、

  6

  5

• B、

  7

  5

• C、

  5

  8

• D、

  9

  5

Answer 1

分析：設雙曲線的有準線為l，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直線AB的斜率可知直線AB的傾斜角，進而推|AD|=

1

2

|AB|，由雙曲線的第二定義|AM|-|BN|=|AD|，進而根據

.

AF

=4

.

FB

，求得離心率．

解答：解：設雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右準線為l，
過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，
由直線AB的斜率為

3

，
知直線AB的傾斜角為60°
∴∠BAD=60°
|AD|=

1

2

|AB|，
由雙曲線的第二定義有：
|AM|-|BN|=|AD|=

1

e

(|

AF

|-|

FB

|)
=

1

2

|AB|=

1

2

(|

AF

|+|

FB

|)
∴

1

e

•3|

FB

|=

5

2

|

FB

|，∴e=

6

5

故選A．

點評：本題主要考查了雙曲線的定義．解題的關鍵是利用了雙曲線的第二定義，找到了已知條件與離心率之間的聯系．