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          （11分）探究：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)
          


          對對一切正自然數(shù)n均成立，若存在求出a、b、c，并證明；若不存在，請說明理由.
          


           
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】






          設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時令n=1,2,3,有
          


          證明見解析。
          


          【解析】先令n=1,2,3建立關(guān)于a,b,c的三個方程，解出a,b,c的值.然后再證明時，也成立.由于是與n有關(guān)的證明問題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
          


          設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時令n=1,2,3,有
          


          于是，對n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=
          


          記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2設(shè)n=k時上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)
          


          那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)
          


          =［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是說，等式對n=k+1也成立.
          


          綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時，題設(shè)對一切正自然數(shù)n均成立.
          


           
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若有常數(shù)M，使得對任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D滿足等式
          f(x1)+f(x2)2
          =M          ，則稱M為函數(shù)y=f （x）的“均值”．
          （1）判斷1是否為函數(shù)f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，請說明理由；
          （2）若函數(shù)f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a為常數(shù)）存在“均值”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
          （3）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，且其值域?yàn)閰^(qū)間I．試探究函數(shù)f（x）的“均值”情況（是否存在、個數(shù)、大小等）與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論（不必證明）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)函數(shù)f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
          （Ⅰ）若f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），求F（x）=f（x）-g（x）的極小值；
          （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在實(shí)常數(shù)k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，說明理由．
          （Ⅲ）設(shè)G（x）=f（x）+2-g（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2，且x1，x0，x2成等差數(shù)列，試探究G'（x0）值的符號．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          對于函數(shù)f（x）和g（x），若存在常數(shù)k，m，對于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，則稱直線y=kx+m是函數(shù)f（x），g（x）的分界線．已知函數(shù)f（x）=ex（ax+1）（e為自然對數(shù)的底，a∈R為常數(shù)）．
          （Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
          （Ⅱ）設(shè)a=1，試探究函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=-x2+2x+1是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
          （1）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移一個單位即可得到函數(shù)y=φ（x）的圖象，試寫出y=φ（x）的解析式及值域；
          （2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
          （3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
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          ，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案