Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸．
（1）若拋物線上的點(diǎn)M（-3，m）到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程和m的值．
（2）若經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線，被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8，試求拋物線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2px（p＞0），依題意可求得p，從而可求得拋物線的方程和m的值；
（2）設(shè)拋物線的方程為y²=ax，可求得其焦點(diǎn)F（

a

4

，0），從而可知傾斜角為135°，被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8的直線的方程，二者聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式即可求得拋物線方程．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2px（p＞0），
∵拋物線上的點(diǎn)M（-3，m）到焦點(diǎn)的距離為5，
∴

p

2

-（-3）=5，
∴p=4．
∴拋物線的方程為：為y²=-8x，由m²=-8×（-3）=24得：m=±2

6

；
（2）設(shè)拋物線的方程為y²=ax，則其焦點(diǎn)F（

a

4

，0），
∵經(jīng)過焦點(diǎn)F（

a

4

，0）的直線傾斜角為135°，
∴該直線l的方程為：y=-（x-

a

4

），
由

y2=ax y=-(x- a 4 )

得：(x-

a

4

)2=ax，
整理得：16x²-24ax+a²=0，設(shè)方程兩根為p，q，
則p+q=

24

16

a=

3

2

a，pq=

a2

16

，
∵直線l被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8，
∴

1+k2

|p-q|=

2

|p-q|=8，
∴|p-q|²=(

8

2

)2=32，即（p+q）²-4pq=32，
∴

9

4

a²-

a2

4

=32，
∴a²=16．
∴a=±4．
∴拋物線方程為：y²=±4x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式，考查思維運(yùn)算能力，屬于中檔題．