Question

（2011•湖南模擬）定義一種運算：（la_t-1a_t-2…a₂a₁a₀）=2^t+a_t-1×2^t-1+a_t-2×2^t-2+…+a₁×2+a₀，其中a_k∈{0，1}（k=0，1，2，3，…，t-1），給定x₁=（la_t-1a_t-2…a₂a₁a₀），構(gòu)造無窮數(shù)列{x_k}：x₂=（la₀a_t-1a_t-2…a₂a₁），x₃=（la₁a₀a_t-1a_t-2…a₃a₂），x₄=（la₂a₁a₀a_t-1a_t-2…a₄a₃），…，
（1）若x₁=30，則x₄=

29

；（用數(shù)字作答）
（2）若x₁=2^2m+3+2^2m+2+2^2m+1+1（m∈N⁺），則滿足x_k=x₁（k≥2，k∈N⁺）的k的最小值為

2m+4

．（用m的式子作答）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義將30化為30=2⁴+1×2³+1×2^2₊₁×2，兩式對應(yīng)項的系數(shù)相等，得出x₁=（11110），得出x₄=（11101）后，求出其值
（2）由已知，x₁=（111000…1）（括號中共2m+4個數(shù)字），按照定義，逐項列舉各項，尋找出規(guī)律，求出k的最小值．

解答：解：（1）由于x₁=（la_t-1a_t-2…a₂a₁a₀）=2^t+a_t-1×2^t-1+a_t-2×2^t-2+…+a₁×2+a₀，
而30=2⁴+1×2³+1×2^2₊₁×2，
兩式對應(yīng)項的系數(shù)相等，
所以x₁=（11110）
根據(jù)定義得出
x₂=（10111）
x₃=（11011）
x₄=（11101）
∴x₄=2⁴+1×2³+1×2^2₊1=29．
（2）若x₁=2^2m+3+2^2m+2+2^2m+1+1，則
x₁=（111000…1）（括號中共2m+4個數(shù)字）
x₂=（111000…0）
 x₃=（101110…0）
…
逐步變換最少經(jīng)過2m+3次變換即到達(dá)x_2m+4時，重復(fù)出現(xiàn)
k的最小值為2m+4．
故答案為：29    2m+4

點評：本題考查閱讀理解、分析計算能力，是以二進(jìn)制內(nèi)容為素材，以數(shù)列為載體的題目．屬于中檔題．