Question

為了解甲、乙兩廠的產品的質量，從兩廠生產的產品中隨機抽取各10件，測量產品中某種元素的含量（單位：毫克）．下表是測量數據的莖葉圖：
規(guī)定：當產品中的此種元素含量滿足≥18毫克時，該產品為優(yōu)等品．
（Ⅰ）試用上述樣本數據估計甲、乙兩廠生產的優(yōu)等品率；
（Ⅱ）從乙廠抽出的上述10件產品中，隨機抽取3件，求抽到的3件產品中優(yōu)等品數ξ的分布列及其數學期望E（ξ）；
（Ⅲ）從上述樣品中，各隨機抽取3件，逐一選取，取后有放回，求抽到的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率．

Answer 1

解：（I）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，優(yōu)等品率為
乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品有5件，優(yōu)等品率為=…..（2分）
（II）ξ的取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=0）==，P（ξ=0）==．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

故Eξ=0×+1×+2×+3×=…（9分）
（III） 抽取的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件，即A=“抽取的優(yōu)等品數甲廠2件，乙廠0件”，B=“抽取的優(yōu)等品數甲廠3件，乙廠1件”P（A）=C×C=
P（B）=C×C=
抽取的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率為P（A）+P（B）=．…（13分）
分析：（I）算出甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，從而得出優(yōu)等品率即可．
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2，3．由古典概型分別求概率，得到ξ的分布列，再求期望即可．
（III）抽取的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件，即A=“抽取的優(yōu)等品數甲廠2件，乙廠0件”，B=“抽取的優(yōu)等品數甲廠3件，乙廠1件”，分別計算出它們的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率即可．
點評：本題考查莖葉圖、樣本估計總體、離散型隨機變量的分布列和期望等知識，考查利用所學知識解決問題的能力．