Question

下列幾個命題：
①方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則a＜0；
②函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域為[-3，1]；
④一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數(shù)是m，則m的值不可能是1．
其中正確的有

①④

．

Answer 1

分析：解：對各項依次加以判斷：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到命題①正確；通過化簡，得函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

=0，定義域為{0}，函數(shù)是一個既奇又偶函數(shù)，得到②錯誤；通過函數(shù)圖象的平移，得到函數(shù)f（x+1）的值域與函數(shù)f（x）的值域相同，都是[-2，2]，得到③錯誤；通過分析函數(shù)y=|3-x²|的奇偶性，可得曲線y=|3-x²|和直線
y=a（a∈R）的公共點個數(shù)是2個、3個或4個，得到④正確．

解答：解：對于①，方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，
由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得x₁x₂=a＜0，故①正確；
對于②，函數(shù)的定義域為{x|0≤x²≤0}={0}
∴定義域中只有一個元素0，并且f（0）=0，
說明函數(shù)是既奇又偶函數(shù)，故②錯；
對于③，函數(shù)f（x+1）的圖象可看作是由函數(shù)f（x）的圖象向左平移一個單位而得，
因此函數(shù)f（x+1）的值域與函數(shù)f（x）的值域相同，都是[-2，2]，故③錯；
對于④，對于曲線y=|3-x²|，設(shè)函數(shù)F（x）=|3-x²|
因為F（x）滿足F（-x）=F（x）成立，所以函數(shù)F（x）是偶函數(shù)
當x≠0時，若F（x）=a成立，
必有互為相反數(shù)的x值（至少兩個x）都適合方程，
又∵F（0）=F（±

6

）=3，a=3時，F(xiàn)（x）=a的根除0外還有±

6

，共3個根
∴方程F（x）=a的根的個數(shù)是2個或2個以上，不可能是1個，
原命題“曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數(shù)是m，則m的值不可能是1．”成立，故④正確．
故答案為：①④

點評：本題通過研究函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和函數(shù)的零點等問題，考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．