Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CC₁上，
（1）求證：A₁E⊥BD；
（2）當A₁E與平面EBD所成角θ為多大時，平面A₁BD⊥平面EBD．

Answer 1

分析：（1）連AC，A₁C₁，可先根據(jù)線面垂直的判定定理可證BD⊥平面ACC₁A₁，A₁E?平面ACC₁A₁，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BD⊥A₁E；
（2）設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點，連A₁O，EO，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠A₁OE即為二面角A₁-BD-E的平面角，是90°，然后解三角形求出A₁E與平面EBD所成角θ的大小即可．

解答：解：（1）證明：連AC，A₁C₁
∵正方體AC₁中，AA₁⊥平面ABCD∴AA₁⊥BD
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA₁=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁且E∈CC₁
∴A₁E?平面ACC₁A₁
∴BD⊥A₁E
（2）設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點，連A₁O，EO
由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁∴BD⊥A₁O，BD⊥EO
∴∠A₁OE即為二面角A₁-BD-E的平面角，
∴∠A₁OE=90°，∴∠OA₁E為A₁E與平面EBD所成角θ，
∵AB=a，E為CC₁中點∴A₁O=

6

2

a，EO=

3

2

a，A₁E=

3

2

a，
sinθ=

EO

A1O

=

3 2 a

3 2 a

=

3

3

∴θ=arcsin

3

3

，此時平面A₁BD⊥平面EBD．

點評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查線線垂直、線面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．