Question

甲、乙、丙三人獨(dú)立完成某項(xiàng)任務(wù)的概率分別為

1

2

，P，

1

4

．且他們是否完成任務(wù)互不影響．
（Ⅰ）若p=

1

3

，設(shè)甲、乙、丙三人中能完成任務(wù)人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅱ）若三人中只有丙完成了任務(wù)的概率為

1

20

，求p的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)甲、乙、丙三人各自完成任務(wù)”分別為事件A、B、C，分析可得，X的所有可能取值為0，1，2，3；由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式可得P（X=0）、P（X=1）、P（X=2）、P（X=3），即可得X的分步列，由期望的計(jì)算公式可得E（X）．
（Ⅱ）設(shè)“三人中只有丙完成了任務(wù)”為事件E，易得P（E）=P（

.

A

•

.

B

•C），結(jié)合題意代入數(shù)據(jù)可得

1-p

8

=

1

20

，解可得P的值．

解答：解：設(shè)“甲、乙、丙三人各自完成任務(wù)”分別為事件A、B、C，
所以P（A）=

1

2

，P（B）=p，P（C）=

1

4

，且A、B、C相互獨(dú)立．
（Ⅰ）X的所有可能取值為0，1，2，3．
因?yàn)?span id="9thznbu" class="MathJye">p=

1

3

，所以P（B）=

1

3

．
所以P（X=0）=P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=（1-

1

2

）×（1-

1

3

）×（1-

1

4

）=

1

4

，
P（X=1）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

1

4

+

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

=

11

24

，
P（X=2）=P（A•B•

.

C

）+P（A•

.

B

•C）+P（

.

A

•B•C）=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

4

，
P（X=3）=P（A•B•C）=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．
所以X分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 4	11 24	1 4	1 24

所以，E(X)=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．
（Ⅱ）設(shè)“三人中只有丙完成了任務(wù)”為事件E，
所以P（E）=P（

.

A

•

.

B

•C）=（1-

1

2

）×（1-p）×

1

4

=

1-p

8

，
所以

1-p

8

=

1

20

解可得p=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算以及隨機(jī)變量的分步列、期望的計(jì)算，計(jì)算期望時(shí)，需要注意提高計(jì)算的準(zhǔn)確性．