Question

設(shè)數(shù)列{b_n}的n項和為S_n，且b_n=1-2S_n；數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=14，a₇=20，．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和．求證：T_n＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知b₁=

1

3

．b_n=1-2S_n，b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．

bn

bn-1

=

1

3

，由此可求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=

1

2

（a₇-a₅）=3，可得a_n=3n-1．從而c_n=a_n•b_n=（3n-1）•

1

3n

，是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積，所以利用錯位相減的方法求出和．由此能證明數(shù)列{c_n}的前n項和T_n＜

7

4

．

解答：解：（1）由b_n=1-2S_n，令n=1，則b₁=1-2S₁，又S₁=b₁
所以b₁=

1

3

…（2分）
當n≥2時，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n
即

bn

bn-1

=

1

3

…（4分）
所以{b_n}是以b₁=

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
于是b_n=

1

3n

…（6分）
（2）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=

1

2

（a₇-a₅）=3，可得a_n=3n-1…（7分）
從而c_n=a_n•b_n=（3n-1）•

1

3n

，
∴T_n=2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+（3n-1）•

1

3n

，

1

3

Tn=2•

1

32

+5•

1

33

+…+（3n-4）•

1

3n

+（3n-1）•

1

3n+1

∴

2

3

T_n=2•

1

3

+3•+3•

1

32

+…+3•

1

3n

-

1

3

-（3n-1）•

1

3n+1

=

7

6

-

6n+7

2•3n+1

…（11分）
∴Tn=

7

4

-

6n+7

4•3n

＜

7

4

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求數(shù)列的和，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．