Question

如圖所示，我校計(jì)劃在漢東中學(xué)操場(chǎng)北修建一個(gè)矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個(gè)相同的噴水器．已知噴水器的噴水區(qū)域是半徑為5m的圓．問(wèn)如何設(shè)計(jì)花壇的尺寸和兩個(gè)噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？

Answer 1

分析：先根據(jù)題意設(shè)花壇的長(zhǎng)、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點(diǎn)應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界．依題意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值即可．

解答：解：設(shè)花壇的長(zhǎng)、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點(diǎn)應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界．
依題意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0）
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值．
∵S=xy=2•

x

2

•y≤(

x

2

)2+y2=100，
由

x

2

=y和

x2

4

+y2=100及x＞0，y＞0得：x=10

2

，y=5

2

∴S_max=100
答：花壇的長(zhǎng)為10

2

m，寬為5

2

m，兩噴水器位于矩形分成的兩個(gè)正方形的中心，則符合要求．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式等，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．