Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求證：對(duì)任意的，；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于．令，求導(dǎo)后可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，得證；（2）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，令，，對(duì)求導(dǎo)后對(duì)分成，兩類討論，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍為．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，，

所以等價(jià)于．

令，則，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，即，亦即

（2）當(dāng)時(shí)，，．

所以不等式等價(jià)于．

方法一：令，，

則．

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

所以根據(jù)題意，知有，∴

當(dāng)時(shí)，由，知函數(shù)在上單調(diào)減；

由，知函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以．

由條件知，，即．

設(shè)，，則，，

所以在上單調(diào)遞減．

又，所以與條件矛盾．

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

方法二：令，，

則在上恒成立，所以，

所以．

又，

顯然當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以．

綜上可知的取值范圍為．