Question

【題目】如圖，四棱錐中，，點在底面上的射影為線段的中點．

（1）若為棱的中點，求證：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明線面平行，可行證線線平行，或證面面平行，本題中是中點，因此我們再取中點，則有，按題意應該有平面平面，在梯形中可證，從而可證明此面面平行的結論，得線面平行；（2）要求二面角，可用幾何方法，實際上可證是二面角的平面角，然后解三角形可得，也可以考慮，由點在底面上的射影為線段的中點，且，則，從而以為坐標原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角，要注意此二面角是鈍角．

試題解析：解法一：

（1）取中點為，連，則由題意知

，則面面，

則面

（2）因點在底面上的射影為線段的中點，

且，

故，

于是，

又由面，

故面，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴為所求二面角的平面角

在中，，

∴

解法二：（1）如圖，

由點在底面上的射影為線段的中點，且

，則，

以為坐標原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則

則，

∴為面的一個法量，

∴，則面

（2），設面的一個法向量為，

由，即，取

同理，面的一個法向量為

設是二面角的平面角，易見與互補，

故，

所以二面角的平面角的余弦值為