Question

【題目】如圖，底面為正方形且各側棱長均相等的四棱錐V﹣ABCD可繞著棱AB任意旋轉，若AB平面α，M，N分別是AB，CD的中點，AB=2，VA= ，點V在平面α上的射影為點O，則當ON的最大時，二面角C﹣AB﹣O的大小是（ ）

A.90°
B.105°
C.120°
D.135°

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設∠VMO=θ，
則∵M、N分別是AB、CD的中點，AB=2，VA= ，
∴AM=1，VM= = =2，
MN=BC=AB=2，VN=VM=2，
則三角形VNM為正三角形，則∠NMV=60°，
則OM=2cosθ，
在三角形OMN中，
ON2=MN2+OM2﹣2MNOMcos（60°+θ）=4+4cos2θ﹣2×2×2cosθcos（60°+θ）
=4+4cos2θ﹣8cosθ（ cosθ﹣ sinθ）
=4+4cos2θ﹣4cos2θ+4 sinθcosθ
=4+2 sin2θ，
∴要使ON最大，則只需要sin2θ=1，即2θ=90°即可，則θ=45°，
此時二面角C﹣AB﹣O的大小∠OMN=60°+θ=60°+45°=105°，
故選：B