Question

設(shè)f₁(x)＝，定義f_n+1(x)＝f₁［f_n(x)］，a_n＝(n∈N^*)．

(1)求數(shù)列｛a_n｝的通項公式；

(2)若T_2n＝a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋2na_2n，，Q_n＝(n∈N^*)，試比較9T_2n與Q_n的大小，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f1(0)＝2，a1＝＝，fn+1(0)＝ f1［fn(0)］＝， 　　∴an+1＝＝＝＝－＝ －an. 　　∴數(shù)列｛an｝是首項為，公比為－的等比數(shù)列，∴an＝()n- 1. 　　(2)∵T2 n ＝ a1+2a 2+3a 3+…+(2n－1)a 2 n- 1+2na 2 n， 　　∴T2 n＝ (－a1)+(－)2a 2+(－)3a 3+…+(－)(2n－1)a2 n－1+2na2 n＝a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n. 　　兩式相減，得T2 n＝ a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. 　　∴T2n ＝+n×(－)2n- 1＝－(－)2n+(－)2n- 1. 　　T2n ＝－(－)2n+(－)2n- 1＝(1－). 　　∴9T2n＝1－. 　　又Qn＝1－， 　　當(dāng)n＝1時，22 n＝4，(2n+1)2＝9，∴9T2 n＜Qn； 　　當(dāng)n＝2時，22 n＝16，(2n+1)2＝25，∴9T2 n＜Qn； 　　當(dāng)n≥3時，， 　　∴9T2 n＞Qn.