Question

（2007•溫州一模）如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若AB=3，BC=4，AA₁=7，且AB⊥BC，設(shè)D是BB₁上一點．
（Ⅰ）求點B到平面AA₁C₁C的距離；
（Ⅱ）當△A₁CD的周長最小時，試求二面角B-AC-D的大�。�

Answer 1

分析：（I）先作出表示點B到平面ACC₁A₁的距離的線段，過B作BE⊥AC于E，則BE⊥ACC₁A₁，則BE為點B到平面ACC₁A₁的距離，再進行求解；
（II）利于側(cè)面ABB₁A₁展到平面CC₁B₁B上，則當A₁，D，C共線時△A₁CD的周長最小，∠DEB即為所求二面角的平面角，從而可求．

解答：解：（I）過B作BE⊥AC于E，則BE⊥ACC₁A₁，則BE為點B到平面ACC₁A₁的距離，---（3分）
可得點B到平面ACC₁A₁的距離

12

5

．---（6分）
（II）如圖將側(cè)面ABB₁A₁展到平面CC₁B₁B上，則當A₁，D，C共線時△A₁CD的周長最小，此時DB=4，---（9分）
又DE⊥AC，故∠DEB即為所求二面角的平面角，---（11分）
則tan∠DEB=

5

3

，故所求二面角的大小為arctan

5

3

．---（14分）

注：對于向量法也進行相應給分．

點評：本題以直三棱柱為載體，考查點面距離，考查面面角，考查空間想象力．