Question

（08年浙江卷）（本題14分）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當(dāng)的長為何值時(shí)，二面角的大小為？

Answer 1

【解析】  本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力。滿分14分。

方法一：

（Ⅰ）證明：過點(diǎn)作交于，連結(jié)，

可得四邊形為矩形，又為矩形，

所以，從而四邊形為平行四邊形，

故．

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321092711011.gif' width=41>平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：過點(diǎn)作交的延長線于，連結(jié)．

由平面平面，，得平面，

從而．

所以為二面角的平面角．

在中，因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321092713029.gif' width=101>，，所以，．

又因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321092713033.gif' width=65>，所以，

從而．

于是．

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321092713037.gif' width=137>，

所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．

方法二：如圖，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，

建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以，，從而，，

所以平面．

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321092716062.gif' width=40>平面，所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321092716065.gif' width=148>，，

所以，，從而

解得．

所以，．

設(shè)與平面垂直，則，，

解得．

又因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321092716078.gif' width=39>平面，，

所以，得到．

所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．