Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若有三個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若對(duì)任意都恒成立的的最大值為，證明： .

Answer 1

【答案】(1) 的取值范圍為；(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）若有三個(gè)極值點(diǎn)，只需應(yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

（1），定義域?yàn)?/span>，

，∵，

只需應(yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于的根， ，

①當(dāng)時(shí)， ，∴單增， 最多只有一個(gè)實(shí)根，不滿足；

②當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ， 單減；當(dāng)時(shí)， ， 單增；

∴是的極小值，

而時(shí)， ， 時(shí)， ，

要有兩根，只需，由

，又由，

反之，若且時(shí)，則， 的兩根中，一個(gè)大于，另一個(gè)小于.

在定義域中，連同， 共有三個(gè)相異實(shí)根，且在三根的左右， 正負(fù)異號(hào)，它們是的三個(gè)極值點(diǎn).

綜上， 的取值范圍為.

（2） 對(duì)恒成立，

①當(dāng)或1時(shí)， 均滿足；

②對(duì)恒成立對(duì)恒成立，

記， ， ， ，

欲證，

而 ，

只需證明 ，顯然成立.

下證： ， ， ， ，

先證： ， ，

， .

令， ，

， ， ，∴在上單增，

∴，∴在上單增，∴，∴在上單增，

∴，即證.

要證： ， .

只需證，

，

而，開口向上，上不等式恒成立，從而得證命題成立.