Question

【題目】設(shè)定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3，若方程f（x）+f′（x）=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A.（1，+∞）
B.（2+ ，+∞）
C.（2﹣ ，+∞）
D.（3，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，f[f（x）﹣log2x]=3，

∴f（x）﹣log2x為大于0的常數(shù)，

設(shè)t=f（x）﹣log2x，則f（x）=log2x+t（t＞0），

又由f（t）=3，即log2t+t=3，解得t=2；

∴f（x）=log2x+2，f′（x）= ，

∴f（x）+f′（x）=log2x+2+ =a，

設(shè)g（x）=log2x+2+ ，則g′（x）= ，

∴函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值2+ ，

∵方程f（x）+f′（x）=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

∴a＞2+ ，

故答案為：B．

由f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且f[f（x）﹣log2x]=3，則f（x）﹣log2x一定為大于0的常數(shù)，進(jìn)行換元，令設(shè)t=f（x）﹣log2x，不難得到f（x）=log2x+t（t＞0），且f（t）=3，解得t=2，所以可得到f（x），f′（x），構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），求導(dǎo)，使得g（x）在（0，+∞）有兩個(gè)根即可.