Question

（2010•昆明模擬）已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的漸近線與拋物線C：y=x²+1相切于第一象限內的點P．
（I）求點P的坐標及雙曲線E的離心率；
（II）記過點P的漸近線為l₁，雙曲線的右焦點為F，過點F且垂直于l₁的直線l₂與雙曲線E交于A、B兩點．若l₂與拋物線至多有一個公共點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）設切點P的坐標，根據雙曲線E的漸近線與拋物線C相切，及P在拋物線C：y=x²+1上，即可求點P的坐標及雙曲線E的離心率；
（II）利用點到直線的距離公式，求得△PAB的高，表示出△PAB的面積，根據直線l₂與拋物線C至多有一個交點，確定a的范圍，即可求△PAB面積的最大值．

解答：解：（I）設切點P的坐標為(x0，

x

2 0

+1)，則切線的斜率為(x2+1)′|x=x0=2x0…（1分）
因為雙曲線E的漸近線y=

b

a

x與拋物線C相切，所以2x0=

b

a

①
又因為

x

2 0

+1=

b

a

x0②
由①、②消去x₀得：(

b

2a

)2+1=

b2

2a2

，即b²=4a²，…（3分）
又c²=a²+b²，所以c²-a²=4a²，c²=5a²，
即e2=

c2

a2

=5，e=

5

．…（4分）
由①、②還可得

x

2 0

+1=2

x

2 0

，即x₀=±1，
又P在第一象限，從而切點P的坐標為（1，2）…%分
（II）由（I）得l₁的方程為y=2x，點F的坐標為(

5

a，0)，雙曲線E的方程為4x²-y²=4a²．
因為l₁⊥l₂，所以l₂的方程為y=-

1

2

(x-

5

a)．
由

y=- 1 2 (x- 5 a) 4x2-y2=4a2

消去y得：15x2+2

5

ax-21a2=0．
從而xA+xB=-

2 5

15

a，xAxB=-

7

5

a2．
故|AB|=

1+(- 1 2 )2

•

(xA+xB)2-4xAxB

=

5 4

•

(- 2 5 15 a)2+ 28 5 a2

=

8

3

a．…（7分）
由點到直線的距離公式得△PAB的高h=|a-

5

|．…（8分）
又因為直線l₂與拋物線C至多有一個交點，
由方程組

y=x2+1 y=- 1 2 (x- 5 a)

消去y得2x2+x+2-

5

a=0，故△=12-4×2×(2-

5

a)≤0，
即0＜a≤

3 5

8

…（9分）
所以△PAB的面積S=

4

3

a|a-

5

|=

4

3

a(

5

-a)，(0＜a≤

3 5

8

)．
S=-

4

3

(a2-

5

a)=-

4

3

[(a-

5

2

)2-

5

4

]≤-

4

3

[(

3 5

8

-

5

2

)2-

5

4

]=

25

16

．…（11分）
∴當a=

3 5

8

時，Smax=

25

16

．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．