Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2) 或.

【解析】

(1)先求的導數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2) 根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.

(1)對求導得.所以有

當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.

(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以

若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；

此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.

若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得 .

若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.

即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為

而，故所以區(qū)間上最大值為.

即相減得，即，又因為，所以無解.

若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.

即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為

而，故所以區(qū)間上最大值為.

即相減得，解得，又因為，所以無解.

若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以有區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上最大值為，最小值為

即解得.

綜上得或.