【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗669人的血樣進(jìn)行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.
方案一：將每個人的血分別化驗，這時需要驗669次.
方案二：按
個人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血就只需檢驗一次（這時認(rèn)為每個人的血化驗
次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗，這時該組個人的血總共需要化驗
次.
假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為
，且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨(dú)立.
（1）設(shè)方案二中，某組個人中每個人的血化驗次數(shù)為
，求的分布列.
（2）設(shè)
，試比較方案二中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案一，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）
【答案】（1）分布列見解析；（2）
，462次；
，404次；
，397次；272次
【解析】
（1）由題得
，
，分別求出對應(yīng)的概率即得
的分布列；
（2）先求出
，再分別求出
分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)，即得相比方案一，化驗次數(shù)最多可以平均減少的次數(shù).
（1）設(shè)每個人的血呈陰性反應(yīng)的概率為
，則
.
所以個人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為
，呈陽性反應(yīng)的概率為
.
依題意可知，，
所以的分布列為：
|
|
|
|
|
|
（2）方案二中，結(jié)合(1)知每個人的平均化驗次數(shù)為
，
所以當(dāng)時，
，
此時669人需要化驗的總次數(shù)為462次；
當(dāng)時，
，
此時669人需要化驗的總次數(shù)為404次；
當(dāng)時，
，
此時669人需要化驗的總次數(shù)為397次.
即時化驗次數(shù)最多，時次數(shù)居中，時化驗次數(shù)最少，
而采用方案一則需化驗669次.
故在這三種分組情況下，
相比方案一，當(dāng)時化驗次數(shù)最多可以平均減少
（次）
高中必刷題系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若
，
，且存在不相等的實數(shù)
，使得
，求證
且
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點(diǎn)的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖（甲）所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖（乙）所示．
試估計該河流在8月份水位的中位數(shù)；
（1）以此頻率作為概率，試估計該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率；
（2）該河流域某企業(yè)，在8月份，若沒受1、2級災(zāi)害影響，利潤為500萬元；若受1級災(zāi)害影響，則虧損100萬元；若受2級災(zāi)害影響則虧損1000萬元．
現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案：
方案 | 防控等級 | 費(fèi)用（單位：萬元） |
方案一 | 無措施 | 0 |
方案二 | 防控1級災(zāi)害 | 40 |
方案三 | 防控2級災(zāi)害 | 100 |
試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】北京地鐵八通線西起四惠站，東至土橋站，全長18.964km，共設(shè)13座車站．目前八通線執(zhí)行2014年12月28日制訂的計價標(biāo)準(zhǔn)，各站間計程票價（單位:元）如下：
四惠 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
四惠東 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ||
高碑店 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | p>5 | |||
傳媒大學(xué) | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | ||||
雙橋 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | |||||
管莊 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | ||||||
八里橋 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | |||||||
通州北苑 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | ||||||||
果園 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||||||||
九棵樹 | 3 | 3 | 3 | ||||||||||
梨園 | /p> | 3 | 3 | ||||||||||
臨河里 | 3 | ||||||||||||
土橋 | |||||||||||||
四惠 | 四惠東 | 高碑店 | 傳媒大學(xué) | 雙橋 | 管莊 | 八里橋 | 通州北苑 | 果園 | 九棵樹 | 梨園 | 臨河里 | 土橋 |
（Ⅰ）在13座車站中任選兩個不同的車站，求兩站間票價不足5元的概率；
（Ⅱ）甲乙二人從四惠站上車乘坐八通線，各自任選另一站下車（二人可同站下車），記甲乙二人乘車購票花費(fèi)之和為X元，求X的分布列；
（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通線，甲從四惠站上車，任選另一站下車，記票價為
元；乙從土橋站上車，任選另一站下車，記票價為
元．試比較和的方差
和
大�。ńY(jié)論不需要證明）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，討論
極值點(diǎn)的個數(shù)；
（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
，
，在平行四邊形
中，
，Q為
上的點(diǎn)，過
的平面分別交
，
于點(diǎn)E、F，且
平面
.
（1）證明：
；
（2）若
，
，Q為的中點(diǎn)，
與平面所成角的正弦值為
，求平面
與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線
的極坐標(biāo)方程為
，以極點(diǎn)
為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系
，將曲線向左平移
個單位長度，再將得到的曲線上的每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的
，縱坐標(biāo)保持不變，得到曲線
（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知直線
的參數(shù)方程為
，（
為參數(shù)），點(diǎn)
為曲線上的動點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
、
是空間兩條不同的直線，
、
是空間兩個不同的平面．給出下列四個命題：
①若
，
，
，則
；
②若
，
，
，則；
③若
，
，，則；
④若，
，，
，則．
其中正確的是__________（填序號）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】天津市某學(xué)校組織教師進(jìn)行“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識競賽，規(guī)則為：每位參賽教師都要回答3個問題，且對這三個問題回答正確與否相互之間互不影響，若每答對1個問題，得1分；答錯，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等獎分別給予獎勵．已知對給出的3個問題，教師甲答對的概率分別為
，
，p．若教師甲恰好答對3個問題的概率是
，則
________；在前述條件下，設(shè)隨機(jī)變量X表示教師甲答對題目的個數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為________．
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