Question

拋物線方程為y²=p（x+1）（p＞0），直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊.

（1）求證：直線與拋物線總有兩個交點；

（2）設直線與拋物線的交點為Q、R，OQ⊥OR，求p關于m的函數(shù)f（m）的表達式；

（3）（文）在（2）的條件下，若拋物線焦點F到直線x+y=m的距離為，求此直線的方程；

（理）在（2）的條件下，若m變化，使得原點O到直線QR的距離不大于，求p的值的范圍.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）拋物線y2=p（x+1）的準線方程是x=－1－，直線x+y=m與x軸的交點為（m，0），由題設交點在準線右邊，得m＞－1－，即4m+p+4＞0. 由 得x2－（2m+p）x+（m2－p）=0. 而判別式Δ=（2m+p）2－4（m2－p）=p（4m+p+4）. 又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0. 因此，直線與拋物線總有兩個交點； （2）設Q、R兩點的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2－（2m+p）x+m2－p=0的兩根， ∴x1+x2=2m+p，x1·x2=m2－p. 由OQ⊥OR，得kOQ·kOR=－1， 即有x1x2+y1y2=0. 又Q、R為直線x+y=m上的點， 因而y1=－x1+m，y2=－x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2－m（x1+x2）+m2=2（m2－p）－m（2m+p）+m2=0， ∴p=f（m）=， 由得m＞－2，m≠0； （3）（文）由于拋物線y2=p（x+1）的焦點F坐標為（－1+，0），于是有 ，即|p－4m－4|=4. 又p=  ∴||=4. 解得m1=0，m2=－，m3=－4，m4=－. 但m≠0且m＞－2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直線方程為3x+3y+4=0. （理）解法一：由于原點O到直線x+y=m的距離不大于，于是 ，∴|m|≤1. 由（2），知m＞－2且m≠0， 故m∈［－1，0）∪（0，1］. 由（2），知f（m）==（m+2）+－4， 當m∈［－1，0）時，任取m1、m2，0＞m1＞m2≥－1，則 f（m1）－f（m2）=（m1－m2）+（） =（m1－m2）［1－］. 由0＞m1＞m2≥－1，知0＜（m1+2）（m2+2）＜4，1－＜0. 又由m1－m2＞0知f（m1）＜f（m2）因而f（m）為減函數(shù). 可見，當m∈［－1，0）時，p∈（0，1］. 同樣可證，當m∈（0，1］時，f（m）為增函數(shù)，從而p∈（0，］. 解法二：由解法一知，m∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知 p=f（m）=. 設t=，g（t）=t+2t2，則t∈（－∞，－1］∪［1，+∞），又 g（t）=2t2+t=2（t+）2－. ∴當t∈（－∞，－1］時，g（t）為減函數(shù)，g（t）∈［1，+∞）. 當t∈［1，+∞）時，g（t）為增函數(shù)，g（t）∈［3，+∞）. 因此，當m∈［－1，0］時，t∈（－∞，－1］，p=∈（0，1］； 當m∈（0，1］時，t∈［1，+∞），p∈（0，］.