Question

（本小題滿分14分）已知函數.
（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）當處取得極值時，若關于的方程上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；
（3）求證：當時，有

Answer 1

（1）增區(qū)間：，減區(qū)間：； （2） 
（3）見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用，求解函數的單調區(qū)間和極值問題以及運用導數證明不等式的問題的綜合運用。
（1）分析定義域，然后求導，然后對于導數大于零或者小于零作出討論，得到單調區(qū)間。
（2）因為當處取得極值時，若關于的方程上恰有兩個不相等的實數根，結合函數圖像來得到不等式。
（3）由（1）、（2）可得，當為增函數
，然后放縮法得到證明。
（1）
增區(qū)間：    減區(qū)間：……………………3分
（2）   
令
為增函數，為減函數，為增函數……………………5分
則…………………………………………………7分
（3）由（1）、（2）可得，當為增函數
…………………………………………10分
令………………………………12分
則
………………13分


………………………………………………14分