Question

設f（x）等于展開式的中間項，若f（x）≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，則m的取值范圍是

1. A.
   [5，+∞）
2. B.
   [，+∞）
3. C.
   [，5]
4. D.
   [，5）

Answer 1

A
分析：先由二項式定理可以得到展開式的通項，再求出其展開式的中間項，即可得f（x），由x的范圍，可將f（x）≤mx變形為x²≤m，由二次函數的性質，求出x²在區(qū)間[，]上的最大值，結合不等式恒成立的意義，即可得答案．
解答：展開式的通項為T_r+1=C₆^r（x²）^6-r（）^r=（）^r•C₆^r•x^12-3r，
其展開式的中間項為T₄=（）³•C₆³•x³=x³，即f（x）=x³，
f（x）≤mx?x³≤mx，
當≤x≤時，x³≤mx?x²≤m，
且≤x≤時，x²的最大值為5，則若x²≤m恒成立，則必有m≥5，
故m的取值范圍是[5，+∞），
故選A．
點評：本題考查二項式定理與函數的恒成立問題，關鍵由二項式定理求出f（x）并求出其最大值．