Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³-3x²（a為常數(shù)）．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，直接由f′（1）=0求解a的值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a=0，a＞0，a＜0三種情況分析導(dǎo)函數(shù)的符號，由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）由f（x）=ax³-3x²，得f′（x）=3ax²-6x．
∵x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（1）=3a-6=0，解得a=2；
（2）∵f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
若a=0，則f′（x）=-6x，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）0．
函數(shù)的減區(qū)間為（0，+∞），增區(qū)間為（-∞，0）；
若a＞0，當(dāng)x∈（-∞，0），(

2

a

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈(0，

2

a

)時(shí)，f′（x）＜0
函數(shù)的減區(qū)間為(0，

2

a

)，增區(qū)間為（-∞，0），(

2

a

，+∞)；
若a＜0，當(dāng)x∈(-∞，

2

a

)，(0，+∞)時(shí)，f′（x）0
函數(shù)的減區(qū)間為(-∞，

2

a

)，(0，+∞)，增區(qū)間為(

2

a

，0)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，是中檔題．