Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若p=2，求線段AF中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若直線AB的方向向量為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，求△OAB的面積；
（3）若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點(diǎn)，求證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由拋物線的方程得到其焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)A（x，y），M（x，y），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，最后根據(jù)拋物線方程消去參數(shù)x，y，即得線段AF中點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）先利用直線AB的方向向量，求出直線的斜率，得出直線方程；再與拋物線方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)以及點(diǎn)O到AB的距離，代入△ABO面積的表達(dá)式，求出△ABO面積即可．
（3）顯然直線MA、MB、MF的斜率都存在，分別設(shè)為k₁、k₂、k₃．直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，證出k₁+k₂=2k₃即可證得k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．
解答：解：（1）設(shè)A（x，y），M（x，y），焦點(diǎn)F（1，0），
則由題意，即…2分
所求的軌跡方程為4y²=4（2x-1），即y²=2x-1…4分
（2）y²=2x，，直線，…5分
由得，y²-y-1=0，…7分
，…8分
…9分
（3）顯然直線MA、MB、MF的斜率都存在，分別設(shè)為k₁、k₂、k₃．
點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)為．
設(shè)直線AB：，代入拋物線得，…11分
所以，…12分
又，，
因而，
因而…14分
而2，故k₁+k₂=2k₃．…16分．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查軌跡方程、圓錐曲線的軌跡問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于中檔題．