Question

已知f（x）=ax²+bx（a＞0，b＞0）．
（1）若f（2）=4，求ab的最大值；
（2）若f（1）＜4，f（-1）＞2，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=4，得到4a+2b=4，然后利用基本不等式求ab的最大值．
（2）利用f（1）＜4，f（-1）＞2，得到不等式組，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求a²+b²的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（2）=4，∴4a+2b=4，
即2a+b=2，
∵a＞0，b＞0，
∴2=2a+b≥2

2ab

，解得ab≤

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=1，即a=

1

2

，b=1時(shí)取等號(hào)，
∴ab的最大值是

1

2

．
（2）若f（1）＜4，f（-1）＞2，
則

a+b＜4 a-b＞2 a＞0，b＞0

，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）
設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方的取值范圍．則當(dāng)a=0時(shí)，b=4，即A（0，4）．
由圖象可知z的最小值為0，A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大為OA=4，0＜z＜4²，即0＜z＜16，
即x²+y²的取值范圍是（0，16）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．