Question

（2013•延慶縣一模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為

1

2

．過F₁的直線交橢圓C于A，B兩點，且△ABF₂的周長為8．過定點M（0，3）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l₁的斜率k＞0，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG、PH為鄰邊的平行四邊形為菱形．如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的離心率計算公式e=

c

a

及其定義即可得到a，b，c，進而即可得到橢圓的標準方程；
（II）設直線l₁的方程為y=kx+3（k＞0），與橢圓的方程聯(lián)立，由直線與橢圓由兩個不同的交點?△＞0，可得k的取值范圍，及其根與系數(shù)的關系；
“在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG、PH為鄰邊的平行四邊形為菱形．”等價于“在x軸上是否存在點P（m，0），使得PN⊥l₁”．即可得到用k表示m，利用導數(shù)即可得出取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，離心率e=

c

a

=

1

2

，
△ABF₂的周長為|AF₁|+|AF₂|+|AF₁|+|AF₂|=4a=8，
解得a=2，c=1，則b²=a²-c²=3，
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）直線l₁的方程為y=kx+3（k＞0），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+3

，消去y并整理得（3+4k²）x²+24kx+24=0（*），
△=（24k）²-4×24×（3+4k²）＞0，解得k＞

6

2

，
設橢圓的弦GH的中點為N（x₀，y₀），
則“在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG、PH為鄰邊的平行四邊形為菱形．”等價于“在x軸上是否存在點P（m，0），使得PN⊥l₁”．
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由韋達定理得，x₁+x₂=-

24k

3+4k2

，
所以x₀=

x1+x2

2

=-

12k

3+4k2

，∴y₀=kx₀+3═

9

3+4k2

，
∴N(-

12k

3+4k2

，

9

3+4k2

)，kPN=-

9

12k+m(3+4k2)

，
所以，-

9

12k+m(3+4k2)

•k=-1，解得m=-

3k

3+4k2

(k＞

6

2

)．
m′(k)=

3(2k- 3 )(2k+ 3 )

(3+4k2)2

＞

3( 6 - 3 )(2k+ 3 )

(3+4k2)2

＞0，
所以，函數(shù)m=-

3k

3+4k2

(k＞

6

2

)在定義域(

6

2

，+∞)單調遞增，m(

6

2

)=-

6

6

，
所以滿足條件的點P（m，0）存在，m的取值范圍為(-

6

6

，+∞)．

點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等基礎知識與解題模式，需要較強的推理能力和計算能力．