Question

設函數(shù)f（x）在其定義域D上的導函數(shù)為f′（x）．如果存在實數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x∈D都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質P（a）．給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=

1

3

x³-x²+x+1；
②f（x）=lnx+

4

x+1

；
③f（x）=（x²-4x+5）e^x；
④f（x）=

x2+x

2x+1

，
其中具有性質P（2）的函數(shù)是

①②③

．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）

Answer 1

分析：因為a=2，所以先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x），然后將其配湊成f′（x）=h（x）（x²-2x+1）這種形式，分別求出h（x），然后確定h（x）是否滿足對任意的x∈D都有h（x）＞0．

解答：解：①f'（x）=x²-2x+1，若f′（x）=h（x）（x²-2x+1），即x²-2x+1=h（x）（x²-2x+1），
    所以h（x）=1＞0，滿足條件，所以①具有性質P（2）．
②函數(shù)f（x）=lnx+

4

x+1

的定義域為（0，+∞）．f′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x+1)2-4x

x(x+1)2

=

1

x(x+1)2

?(x2-2x+1)，
所以h(x)=

1

x(x+1)2

，當x∈（0，+∞）時，h（x）＞0，所以②具有性質P（2）．
③f'（x）=（2x-4）e^x+（x²-4x+5）e^x=（x²-2x+1）e^x，所以h（x）=e^x，因為h（x）＞0，所以③具有性質P（2）．
④f′(x)=

(2x+1)(2x+1)-2(x2+1)

(2x+1)2

=

2x2+2x+1

(2x+1)2

，若f′(x)=

2x2+2x+1

(2x+1)2(x2-2x+1)

?(x2-2x+1)，
則h(x)=

2x2+2x+1

(2x+1)2(x2-2x+1)

，因為h（1）=0，所以不滿足對任意的x∈D都有h（x）＞0，所以④不具有性質P（2）．
故答案為：①②③．

點評：本題的考點是導數(shù)的運算以及通過條件求h（x），本題的關鍵是通過關系式確定函數(shù)h（x）的表達式，然后判斷條件是否成立．運算量較大．