Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，∠BAC= 90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分別是A₁B₁，BC的中點(diǎn)．
(Ⅰ)證明：MN∥平面ACC₁A₁；
(Ⅱ)求二面角M-AN-B的余弦值。

Answer 1

解：依條件可知AB，AC，AA1兩兩垂直，如圖， 以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz， 根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)： A(0，0，0)，B(0，2，0)， C(-1，0，0)，A1(0，0，2)，， ， (Ⅰ)證明：∵是平面ACC1A1的一個(gè)法向量， 且，所以， 又∵平面ACC1A1， ∴MN∥平面ACC1A1。 (Ⅱ)設(shè)n=（x，y，z）是平面AMN的法向量， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110721/201107211002362611676.gif">， 由，得， 解得平面AMN的一個(gè)法向量為n=（4，2，-1）， 由已知，平面ABC的一個(gè)法向量為m=（0，0，1）， ， ∴二面角M-AN-B的余弦值是。