Question

如圖，直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-2，0），直角頂點(diǎn)B(0，-2

2

)，頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)
（1）求BC邊所在直線方程； 
（2）圓M是△ABC的外接圓，求圓M的方程；
（3）若DE是圓M的任一條直徑，試探究

PD

•

PE

是否是定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）用斜率公式求出 AB的斜率 K_AB，根據(jù)垂直關(guān)系可得BC的斜率  K_BC，用點(diǎn)斜式求得BC邊所在直線方程．
（2）在BC邊所在直線方程中，令y=0，可得點(diǎn) C的坐標(biāo)，設(shè)△ABC的外接圓方程為  x²+y²+Dx+Ey+F=0，把 A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，求出 D、E、F的值，即得△ABC的外接圓方程．
（3）由題意可得P（-1，0 ），△ABC的外接圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x-1）²+y²=9，設(shè)

PS

 與

SE

的夾角為θ，則 

PS

 與 

SD

 的夾角為π-θ，根據(jù)

PD

•

PE

=（

PS

+

SD

 ）•（

PS

+

SE

），求得結(jié)果．

解答：解：（1）AB的斜率 K_AB=

-2 2 -0

0+2

=-

2

，∴K_BC=

-1

KAB

=

2

2

，
故求BC邊所在直線方程為  y+2

2

=

2

2

（x-0），即 y=

2

2

x-2

2

．
（2）在BC邊所在直線方程中，令y=0，可得 x=4，故 C（4，0）．
設(shè)△ABC的外接圓方程為  x²+y²+Dx+Ey+F=0，把 A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入可得

4+0-2D+0+F =0 0+8+0-2 2 E+F =0 16+0+4D+0+F =0

，解得 

D=-2 E=0 F=-8

，∴△ABC的外接圓方程為 x²+y²-2x-8=0．
（3）由題意可得P（-1，0 ），△ABC的外接圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x-1）²+y²=9，
表示以S（1，0）為圓心，以3為半徑的圓．
由于DE是圓M的任一條直徑，設(shè)

PS

 與

SE

的夾角為θ，則 

PS

 與 

SD

 的夾角為π-θ，
∴

PD

•

PE

=（

PS

+

SD

 ）•（

PS

+

SE

）=

PS

2+

PS

•

SE

+

PS

•

SD

+

SD

•

SE

 
=4+|

PS

|•|

SE

|cosθ+|

PS

|•|

SD

|cos（π-θ）+（-SD²）=4+2×3cosθ-2×3cosθ-9=-5，
故

PD

•

PE

是定值，為-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用點(diǎn)斜式求直線方程，求圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，得到
 

PD

•

PE

=（

PS

+

SD

 ）•（

PS

+

SE

），是解題的關(guān)鍵．