Question

（12分）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù),.

（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）求證：當(dāng)且時(shí)，.

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值為（2）設(shè)，于是，取最小值為

在R內(nèi)單調(diào)遞增，有，而，有故

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解：由知。  …2分

令，得。于是，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：

		0	+
	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

 ……………………………4分

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是。在處取得極小值。極小值為                 ……………6分

（Ⅱ）證明：設(shè)，于是。

由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)取最小值為

于是對(duì)任意,都有，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增。        ……8分

于是，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，而 ………10分

從而對(duì)任意，都有。即故12分

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)區(qū)間極值及利用單調(diào)性最值證明不等式

點(diǎn)評(píng)：證明不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題