Question

已知平面向量

a

=(cosωx+

3

sinωx，1)，

b

=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0且

a

∥

b

，函數f（x）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離為

3π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[π，

5π

2

]上的最大值及相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）通過向量平行，推出函數的表達式，利用二倍角以及兩角和的正弦函數化簡為一個角的一個三角函數的形式，通過周期求ω的值；
（2）利用[π，

5π

2

]，求出

5π

6

≤

2

3

x+

π

6

≤

11π

6

，-1≤sin(

2

3

x+

π

6

)≤

1

2

即求函數f（x）在區(qū)間的最大值及相應的x的值．

解答：解：（1）由

a

∥

b

得f(x)×1=(cosωx+

3

sinωx)×cosωx，整理并化簡得f(x)=

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
依題意

T

2

=

3π

2

，T=3π，又T=

2π

2ω

，
所以ω=

1

3

．
（2）f(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)+

1

2

，π≤x≤

5π

2

，

5π

6

≤

2

3

x+

π

6

≤

11π

6

，
所以-1≤sin(

2

3

x+

π

6

)≤

1

2

，
所以f（x）的最大值為fmax=

1

2

，易得相應的x=π．

點評：（1）試題核心是三角函數性質，情景與條件有鮮明的幾何意義，綜合了三角函數的對稱性、周期性和最值等，要求熟悉三角函數圖象，并以圖象和性質引導計算．
（2）三角形模型．典型的結構是：根據若干給定條件確定三角形的邊與角，在此基礎上進一步求解．給定條件方式有：坐標、向量或方位，有應用題特征．