Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c有極大值f（α）和極小值f（β）．
（1）求f（α）+f（β）的值；
（2）設(shè)曲線y=f（x）的極值點(diǎn)為A、B，求證：線段AB的中點(diǎn)在y=f（x）上．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)令其=0則α、β為3x²+2ax+b=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡f（α）+f（β）得到即可；
（2）設(shè)出A與B兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出中點(diǎn)坐標(biāo)線段判斷AB的中點(diǎn)是否在y=f（x）上即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于f（x）有極大值和極小值，
∴α、β為3x²+2ax+b=0的兩根，則α+β=-

2a

3

，αβ=

b

3

，∴f(α)+f(β)=(α3+aα2+bα+c)+(β3+aβ2+bβ+c)
=（α³+β³）+a（α²+β²）+b（α+β）+2c
=[（α+β）³-3αβ（α+β）]+a[（α+β）²-2αβ]+b（α+β）+2c
=[(-

2a

3

)3-3•

b

3

•(-

2a

3

)]+a[(-

2a

3

)2-2•(

b

3

)]+b(

-2a

3

)+2c
=

4

27

a3-

2ab

3

+2c
（2）設(shè)A（α，f（α）），B（β，f（β），
由f(

α+β

2

)=(

α+β

2

)3+a•(

α+β

2

)3+b•

α+β

2

+c=(-

a

3

)3+a•(-

a

3

)2+b•(-

a

3

)+c
=

2

27

a3-

1

3

ab+c=

1

2

[f(α)+f(β)]
知AB的中點(diǎn)在y=f（x）上．

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．