Question

設(shè)△ABC是銳角三角形，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)，并且sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B．
（1）求角A的值；
（2）若

AB

•

AC

=12，a=2

7

，求b2+c2(其中b＜c)．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B利用兩角和與差的正弦函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求出A的正弦函數(shù)值，然后求出A的值．
（2）通過(guò)向量的數(shù)量積求出cbcosA=12，利用余弦定理求出b²+c²的值．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="wfqnimg" class="MathJye">sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B
=(

3

2

cosB+

1

2

sinB)(

3

2

cosB-

1

2

sinB)+sin²B
=

3

4

cos2B-

1

4

sin2B+sin 2B
=

3

4

．
所以sinA=±

3

2

，又A為銳角，所以A=

π

3

．
（2）由

AB

•

AC

=12，
可得cbcosA=12．
由（1）可知A=

π

3

，
所以bc=24．
由余弦定理知a²=b²+c²-2cbcosA，
把a=2

7

，cbcosA=12，代入可得
b²+c²=52．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的求解，兩角和與差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，注意整體思想的意識(shí)的訓(xùn)練，考查計(jì)算能力．