Question

【題目】在三棱柱中，是正三角形，，點(diǎn)在底面上的射影恰好是中點(diǎn)，側(cè)棱和底面成角.

（1）求證：；

（2）求二面角的大�。�

（3）求直線與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）二面角的大小為.

（3）直線與平面所成角為

【解析】

(1)先證明平面，根據(jù)線面垂直的定義即可得結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面，平面的法向量，求出兩法向量的夾角，結(jié)合圖形即可求解；

(3)根據(jù)（2）求出的平面的法向量，結(jié)合直線的方向向量，即可求解.

(1)連接，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，為正三角形，所以,由點(diǎn)在底面上的射影為，所以平面,所以所以平面,又平面,所以.

(2)以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 則 因?yàn)閭?cè)棱和底面成角，所以,則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則.所以，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的大小為.

(3)由（2）可知平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角為