Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）已知函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，不等式f（x）＜mx的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=2時，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程．
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）=e^x-ax得到f′（x）=e^x-a，由此根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）由題意知，f′（0）=0，再由M∩P≠∅，得到不等式f（x）＜mx在[

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2

 ， 2]上有解，分離參數(shù)，求得函數(shù)最值，即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，
所以曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a．
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0恒成立，此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，
此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna）．
（Ⅲ）由函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，則f′（0）=0得a=1，經(jīng)檢驗此時f（x）在x=0處取得極小值．
因為M∩P≠∅，
所以f（x）＜mx在[

1

2

 ， 2]上有解，即?x∈[

1

2

 ， 2]使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

 ， 2]使m＞

ex-x

x

成立，
所以m＞(

ex-x

x

)min．
令g(x)=

ex

x

-1，g′(x)=

(x-1)ex

x2

，
所以g（x）在[

1

2

 ， 1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
則g（x）_min=g（1）=e-1，
所以m∈（e-1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的切線方程的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．