Question

如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所  在平面垂直于底面ABCD，若G為AD邊的中點，

（1）求證：BG⊥平面PAD；

（2）求證：AD⊥PB；

（3）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論.

Answer 1

證明略

解析:

（1）在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G為AD的中點，所以BG⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以BG⊥平面PAD.

（2）連接PG，因為△PAD為正三角形，

G為AD的中點，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，

PG平面PGB，BG平面PGB，PG∩BG=G，

所以AD⊥平面PGB，因為PB平面PGB，

所以AD⊥PB.

（3）  當F為PC的中點時，

滿足平面DEF⊥平面ABCD.證明如下：

取PC的中點F，連接DE、EF、DF，

在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，在菱形ABCD中，

GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，

EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，

因為BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG

又因為PG⊥AD，AD∩BG=G，

∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，

所以平面PGB⊥平面ABCD，

所以平面DEF⊥平面ABCD.