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        1. (2007•武漢模擬)如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AD中點(diǎn),
          (1)求二面角E-A1C1-D1的平面角的余弦值;
          (2)求四面體B-A1C1E的體積.
          (3)(文) 求E點(diǎn)到平面A1C1B的距離
          (4)(文)求二面角B-A1C1-B1的平面角的余弦值.
          分析:(1)先作出二面角E-A1C1-D1的平面角:在A1D1上取中點(diǎn)F.連接EF過(guò)F作FM⊥A1C1于A1C1上一點(diǎn)M,連接EM,則∠EMF為二面角E-A1C1-D1的平面角.再在△A1C1D1中,可求;
          (2)求四面體B-A1C1E的體積,可以轉(zhuǎn)換底面,求VC1-A1BN,即可;
          (3)將E到平面BA1C1的距離轉(zhuǎn)化為M點(diǎn)到平面BA1C1的距離,再在△MHB中可求;
          (4)先利用三垂線定理確定二面角的平面角,再在△BO1B1中求解.
          解答:解:(1)在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1,E為AD中點(diǎn),在A1D1上取中點(diǎn)F.連接EF過(guò)F作FM⊥A1C1于A1C1上一點(diǎn)M,連接EM,則∠EMF為二面角E-A1C1-D1的平面角.
          在△A1C1D1中,F(xiàn)M=
          1
          4
          B1D1=
          2
          4
          ,又EF⊥FM,EF=1
          ∴tan∠EMF=
          1
          2
          4
          =2
          2
          ,從而cos∠EMF=
          1
          3

          ∴二面角E-A1C1-D1的余弦值為
          1
          3

          (2)在平面ABCD內(nèi),延長(zhǎng)BA到N點(diǎn),使AN=
          1
          2
          ,故NE∥A1C1,∴NE∥面BA1C1
          ∴VB-A1C1E=VE-A1BC1=VN-A1C1E=VC1-A1BN
          =
          1
          3
          •(
          1
          2
          3
          2
          •1)•1=
          1
          4


          (3)(文)取DC中點(diǎn)F,連接EF交BD于M點(diǎn),又E為AD中點(diǎn),故可知EF∥A1C1,則EF∥面BA1C1,
          因此E到平面BA1C1的距離就是M點(diǎn)到平面BA1C1的距離.
          在對(duì)角面BA1D1D內(nèi),過(guò)M作MH⊥O1B交OB1于H,
          ∵A1C1⊥面BB1D1D,則面BD1⊥面BA1C1而MH⊥O1B,則MH⊥面BA1C1,
          又∵sin∠DBO1=
          2
          3
           故在△MHB中,MH=BM•sin∠DBO1=
          3
          2
          4
          2
          3
          =
          3
          2

          故E到平面BA1C1之距離為
          3
          2

          (4)

          在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1連B1D1,則B1D1⊥A1C1,設(shè)其交點(diǎn)為O1,連O1B.
          則由三垂線定理可知O1B⊥A1C1
          ∴∠BO1B1為二面角B-A1C1-B1的平面角.
          又BB1=1,O1B=
          2
          2
          ,∴tan∠BO1B1=
          2
          ,從而cos∠BO1B1=
          1
          3
          =
          3
          3
          點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問(wèn)題,主要考查二面角的求法,考查幾何體的體積,關(guān)鍵是作(找)二面角的平面角.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          x
          +
          4-x
          ,則函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋ā 。?/div>

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          5
          4
          5
          4

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          (2007•武漢模擬)如圖,直線l:y=
          4
          3
          (x-2)和雙曲線C:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1 (a>0,b>0)交于A、B兩點(diǎn),|AB|=
          12
          11
          ,又l關(guān)于直線l1:y=
          b
          a
          x對(duì)稱的直線l2與x軸平行.
          (1)求雙曲線C的離心率;(2)求雙曲線C的方程.

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