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        1. 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.
          (1)求證:f(x)為奇函數(shù);
          (2)當(dāng)t>2時(shí),不等式f(klog2t)+f(log2t-log22t-2)<0恒成立,求k的取值范圍.
          分析:(1)令x=y=0可求得f(0)=0,再令y=-x可求得f(-x)=-f(x),從而可證f(x)為奇函數(shù);
          (2)依題意知,奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù),不等式f(klog2t)+f(log2t-log22t-2)<0恒成立?klog2t<log22t-log2t+2在t>2時(shí)恒成立,令m=log2t則m>1,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究km<m2-m+2在m>1時(shí)恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(m)=m2-(k+1)m+2,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得k的取值范圍.
          解答:解:(1)令x=y=0得,f(0)=2f(0),
          ∴f(0)=0;
          再令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),
          ∴f(-x)=-f(x),即f(x)為奇函數(shù),
          (2)∵f(0)=0,f(1)=2,且f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),
          ∴f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù),又f(x)為奇函數(shù),
          ∴f(klog2t)<-f(log2t-log22t-2)=f(log22t-log2t+2),
          ∴klog2t<log22t-log2t+2在t>2時(shí)恒成立,
          令m=log2t則m>1,即 km<m2-m+2在m>1時(shí)恒成立,
          ∴可化為m2-(k+1)m+2>0在m>1時(shí)恒成立,
          設(shè)g(m)=m2-(k+1)m+2,
          ∵g(0)=2>0,
          k+1
          2
          <0①或△=(k+1)2-8<0②或
          0<
          k+1
          2
          ≤1
          g(1)≥0
          ③,
          解①得k<-1;
          解②得-2
          2
          -1<k<2
          2
          -1;
          解③得-1<k≤1
          綜上所述,k<2
          2
          -1

          ∴k的取值范圍為(-∞,2
          2
          -1).
          點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,考查函數(shù)奇偶性的判定與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,考查化歸思想、分類(lèi)討論方程不等式思想的綜合應(yīng)用,屬于難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          15、已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:存在實(shí)數(shù)x0,使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立,則(i)f(1)+f(0)=
          0
          (ii)x0的值為
          1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足f(-3)=2,,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈R有f(-a)+f(a)=0恒成立.
          (Ⅰ)試判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
          (Ⅱ)解關(guān)于x的不等式f(
          2-xx
          )<2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(2)=
          32
          ,且對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
          (Ⅰ)求證:f(x)為奇函數(shù);
          (Ⅱ)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)y=f(x),當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),
          (1)求f(0),并寫(xiě)出適合條件的函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式;
          (2)數(shù)列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
          1
          f(-2-an)
          (n∈N+)

          ①求通項(xiàng)公式an的表達(dá)式;
          ②令bn=(
          1
          2
          )anSn=b1+b2+…+bn,Tn=
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          ,試比較Sn
          4
          3
          Tn
          的大小,并加以證明;
          ③當(dāng)a>1時(shí),不等式
          1
          an+1
          +
          1
          an+2
          +…+
          1
          a2n
          12
          35
          (log a+1x-log ax+1)
          對(duì)于不小于2的正整數(shù)n恒成立,求x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•廣州三模)已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x),存在實(shí)數(shù)x0使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2,總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.
          (1)求x0的值;
          (2)若f(x0)=1,且對(duì)任意的正整數(shù)n.有an=
          1
          f(n)
          ,bn=f(
          1
          2n
          )+1
          ,記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,比較
          4
          3
          Sn
          與Tn的大小關(guān)系,并給出證明.

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