Question

某中學(xué)開展“創(chuàng)建文明城市知識競賽”活動，競賽題由20道選擇題構(gòu)成，每道選擇題有4個選項，其中有且只有1個選項是正確的，要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)通過筆試完成，且每道題必須選出一個選項（不得多選和不選），每道題選擇正確得6分，選擇錯誤得0分．已知學(xué)生甲對任一道題選擇正確的概率是

3

4

；學(xué)生乙由于未作準(zhǔn)備，因此只能從每道題的4個選項中隨機地選擇1個．
（1）比較甲得66分的概率與乙得54分的概率的大小；
（2）就前兩道題而言，求甲、乙兩人得分之和不得低于18分的概率．

Answer 1

（1）依題意，甲對任一道題選擇正確的概率是

3

4

，
甲得66分，即在20道題中答對11道題的概率為P1=

C

1120

(

3

4

)11(

1

4

)9；
又由題意，乙從每道題的4個選項中隨機地選擇1個，則乙答對每一道題的概率都是

1

4

，
則乙得54分，即在20道題中答對9道題的概率為P2=

C

920

(

1

4

)9(

3

4

)11
又由C₂₀¹¹=C₂₀⁹，則P₁=P₂，
故甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大．
（2）依題意，前兩道題甲、乙得分之和不低于18分，即前兩道題中甲乙兩人一共最多錯l道，
即有三種情況，甲錯1道，乙錯1道，甲乙全部答對三種情況，
所求概率為P3=

C

22

(

3

4

)2

C

22

(

1

4

)2+

C

22

(

3

4

)2

C

12

(

1

4

)?

3

4

+

C

12

3

4

?

1

4

?

C

22

(

1

4

)2=

69

256