Question

已知函數f（x）=的定義域為[α，β]，值域為[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上為減函數．
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：2＜α＜4＜β；
（3）若函數g（x）=log_aa（x-1）-，x∈[α，β]的最大值為M，求證：0＜M＜1．

Answer 1

解．（1）按題意，得．
∴即　α＞2． （3分）
又
∴關于x的方程．
在（2，+∞）內有二不等實根x=α、β．
?關于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）內有二異根α、β．
．　　
故　． （6分）
（2）令Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），
則Φ（2）•Φ（4）=4a•（18a-2）=8a（9a-1）＜0．
∴2＜α＜4＜β． （10分）
（3）∵，

=．
∵lna＜0，
∴當x∈（α，4）時，g'（x）＞0；
當x∈（4，β）是g'（x）＞0．
又g（x）在[α，β]上連接，
∴g（x）在[α，4]上遞增，在[4，β]上遞減．
故　M=g（4）=log_a9+1=log_a9a． （12分）
∵，
∴0＜9a＜1．
故M＞0．　
若M≥1，則9a=a^M．
∴9=a^M-1≤1，矛盾．
故0＜M＜1． （15分）
分析：（1）由已知中f（x）在[α，β]上為減函數函數f（x）=的定義域為[α，β]，值域為[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，我們可得，根據對數式中底數及真數的限制條件，可得α＞2，同理β＞2，故關于x的方程在（2，+∞）內有二不等實根α、β．由此構造關于a的不等式組，解不等式組即可求出a的取值范圍；
（2）令Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），我們易得Φ（2）•Φ（4）＜0，進而根據零點存在定理，結合（1）中的結論，得到答案；
（3）由已知中函數g（x）=log_aa（x-1）-，x∈[α，β]的解析式，我們利用導數法，可以判斷出函數的單調性，進而得到M=g（4）=log_a9+1，結合（1）中a的取值范圍，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，導數的運算，利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，其中（1）的關鍵是根據函數的單調性將問題轉化為關于x的方程在（2，+∞）內有二不等實根α、β．并由此構造關于a的不等式組，（2）的關鍵是構造函數Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），將問題轉化為函數零點判斷問題，（3）的關鍵是利用導數法，判斷出M=g（4）．