Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（4）=1．f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)y=f'（x）的圖象如右圖所示．若兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則

b+2

a+2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的范圍得到答案．

解答：解：由圖可知，當(dāng)x＞0時，導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增
∵兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，
∴b，a滿足不等式

a＞0 b＞0 2a+b＜4

，其對應(yīng)的區(qū)域如圖陰影部分（不包括邊界）
∴

b+2

a+2

表示過點(diǎn)P（-2，-2）與區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)M連線的斜率
由圖知，當(dāng)點(diǎn)M在A時，

b+2

a+2

取到最大值為3，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B時，取到最小值

1

2

由于區(qū)域不包括邊界，故

b+2

a+2

的取值范圍是(

1

2

，3)
故答案為：(

1

2

，3)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．