Question

已知點(diǎn)F(1，0)，直線l:x=2.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離為d,且|PF|=d,≤d≤.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若·=，求向量與的夾角.

Answer 1

(1) 軌跡方程為+y²=1(≤x≤).

(2) θ=arccos

解析:

(1)根據(jù)橢圓的第二定義知，點(diǎn)P的軌跡為橢圓.由條件知c=1,=2,∴a=.

e===滿足|PF|=d.

∴P點(diǎn)的軌跡為+=1.

又d=－x,且≤d≤,

∴≤2－x≤.∴≤x≤.

∴軌跡方程為+y²=1(≤x≤).

(2)由(1)可知，P點(diǎn)的軌跡方程為+y²=1(≤x≤),∴F(1,0)、P(x₀,y₀).

=(1,0),=(x₀,y₀),=(1－x₀,－y₀).

∵·=,∴1－x₀=.

∴x₀=,y₀=±.

又·=||·||·cosθ,

∴1·x₀+0·y₀=·1·cosθ.

∴cosθ====.

∴θ=arccos.