Question

已知α，β∈（0，

π

2

），且tanα，tanβ是一元二次方程x²-3

3

x+4=0的兩個(gè)實(shí)根，則α+β=（　�。�

• A、

  4π

  3

• B、

  π

  3

• C、

  3π

  4

• D、

  2π

  3

Answer 1

分析：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到tanα+tanβ=3

3

且tanα•tanβ=4．由此利用兩角和的正切公式，算出 tan（α+β）=-

3

，結(jié)合α+β∈（0，π），可得α+β=

2π

3

．

解答：解：∵tanα、tanβ是一元二次方程x²-3

3

x+4=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴tanα+tanβ=3

3

，tanα•tanβ=4．
由此可得tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

3 3

1-4

=-

3

，
又∵α、β∈（0，

π

2

），可得α+β∈（0，π），
∴α+β=

2π

3

．
故選：D

點(diǎn)評：本題給出銳角α、β的正切是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求α+β的值．著重考查了兩角和的正切公式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，屬于中檔題．