Question

（本題13分）已知數(shù)列滿足a₁=0，a₂=2，且對(duì)任意m，都有
（1）求a₃，a₅；
（2）求，證明：是等差數(shù)列；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n。

Answer 1

（1），；（2）見解析；
（3）

本題考查等差等比數(shù)列的證明和數(shù)列的求和，利用錯(cuò)位相減法求和的時(shí)，注意討論與的兩種情形以及相減以后項(xiàng)數(shù)的確定。
解：（1）由題意，令m=2，n=1可得。
再令m=3，n=1可得.                        （2分）
（2）當(dāng)時(shí)，由已知（以n+2代替m）可得

于是，即
。
所以，數(shù)列是首項(xiàng)，公差為8的等差數(shù)列。           （5分）
（3），則。
另由已知（令m=1）可得，
那么，

=2n
于是，
當(dāng)時(shí)，。
當(dāng)時(shí)，
兩邊同乘可得

上述兩式相減即得

=

所以
綜上所述，