Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，求線段AB的長；
（2）在（1）的橢圓中，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，求△ABF₁的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，建立方程，求得幾何量，從而可得橢圓方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可求線段AB的長；
（2）求出點(diǎn)F₁到直線AB的距離，即可求△ABF₁的面積．

解答：解：（1）∵橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，
∴

c

a

=

3

3

，2c=2
∴c=1，a=

3

∴b=

a2-c2

=

2

，
∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
直線y=-x+1與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得：5x²-6x-3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6

5

，x₁x₂=-

3

5

∴|AB|=

1+1

|x₁-x₂|=

2

×

( 6 5 )2+ 12 5

=

8 3

5

；
（2）由（1）可知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），直線AB的方程為x+y-1=0，
所以點(diǎn)F₁到直線AB的距離d=

|-1-0-1|

2

=

2

，
又|AB|=

8 3

5

，
∴△ABF₁的面積S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

8 3

5

×

2

=

4 6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．