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        1. 如圖,△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面ABC外一點P在平面ABC內(nèi)的射影是AB中點M,二面角P-AC-B的大小為45°.
          (I)求二面角P-BC-A的正切值;
          (II)求二面角C-PB-A的正切值.

          【答案】分析:(I)由題設知BC=5,平面APB⊥平面ABC,∠PAB是二面角P-AC-B的平面角,由此能求出二面角P-BC-A的正切值.
          (II)以AC為x軸,以AB為y軸,以過點A作MP的平行線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角C-PB-A的正切值.
          解答:解:(I)∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,
          ∴BC=5,
          ∵平面ABC外一點P在平面ABC內(nèi)的射影是AB中點M,
          ∴平面APB⊥平面ABC,
          ∵∠BAC=90°,∴AC⊥平面APB,
          ∴∠PAB是二面角P-AC-B的平面角,
          ∵二面角P-AC-B的大小為45°,
          ∴∠PAB=45°,
          ∴PM=AM==2,
          作AD⊥BC,交BC于D,連接PD,
          則∠PDM是二面角P-BC-A的平面角,
          ∵△BDM∽△BAC,∴,
          ==
          ∴tan∠PDM===,
          故二面角P-BC-A的正切值為
          (II)以AC為x軸,以AB為y軸,以過點A作MP的平行線為z軸,建立空間直角坐標系,
          ∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,PM=2,AM=2,
          ∴C(3,0,0),B(0,4,0),P(0,2,2),A(0,0,0),
          ,,,
          設平面CPB的法向量為,則,,
          ,解得,
          設平面APB的法向量為,則,
          ,解得,
          設二面角C-PB-A的平面角為θ,
          cosθ=|cos<>|=
          ∴tanθ=,
          ∴二面角C-PB-A的正切值為
          點評:本題考查二面角的正切值的求法,解題時要認真審題,合理地化立體問題為平面問題,注意向量法的合理運用.
          練習冊系列答案
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          3
          ,
          AB
          AC
          =4,
          AC
          CB
          =2
          ,雙曲線M是以B、C為焦點且過A點.
          (Ⅰ)建立適當?shù)淖鴺讼担箅p曲線M的方程;
          (Ⅱ)設過點E(1,0)的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于
          F、G兩點,直線l的斜率為k,求k的取值范圍.;
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          AN
          =
          1
          3
          NC
          ,若
          BP
          =n
          BN
          ,
          AP
          =m
          AB
          +
          2
          11
          AC
          ,求實數(shù)m、n的值.

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          求證:PB2=PE•PF.

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          精英家教網(wǎng)

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