Question

已知實數(shù)a,b滿足:關(guān)于x的不等式|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|對一切x∈R均成立.
(1)請驗證a=-2,b=-8滿足題意.
(2)求出所有滿足題意的實數(shù)a,b,并說明理由.
(3)若對一切x>2,均有不等式x²+ax+b≥(m+2)x-m-15成立,求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

(1)見解析   (2)a=-2,b=-8，理由見解析   (3) (-∞,2]

(1)當a=-2,b=-8時,有
|x²+ax+b|=|x²-2x-8|≤2|x²-2x-8|
=|2x²-4x-16|.
(2)在|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|中,
分別取x=4,x=-2,
得,所以,
所以a=-2,b=-8,
因此滿足題意的實數(shù)a,b只能是a=-2,b=-8.
(3)由x²+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2),
所以x²-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x²-4x+7≥m(x-1),
所以對一切x>2,均有不等式≥m成立,
而=(x-1)+-2
≥2-2=2(當且僅當x=3時等號成立),
所以實數(shù)m的取值范圍是(-∞,2].