Question

在棱長為1的正方體AC₁中，點P為側面BB₁C₁C內一動點（含邊界），若動點P始終滿足PA⊥BD₁，則動點P的軌跡的長度為

2

．

Answer 1

分析：畫出圖形，由線面垂直的判定得到BD₁⊥面AB₁C，從而得到動點P的軌跡為線段B₁C，則長度可求．

解答：解：如圖，
連結AC，BD，則AC⊥BD，
∵D₁D⊥面ABCD，∴D₁D⊥AC，
又D₁D∩DB=D，∴AC⊥面D₁DB，∴BD₁⊥AC．
連結A₁B，AB₁，則A₁B⊥AB₁，
∵A₁D₁⊥面A₁ABB₁，∴A₁D₁⊥AB₁．
又A₁D₁∩A₁B=A₁，∴AB₁⊥面A₁BD₁，∴BD₁⊥AB₁．
又AB₁∩AC=A，∴BD₁⊥面AB₁C，∴P點的軌跡為線段B₁C．
∴動點P的軌跡的長度為|B1C|=

2

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故答案為：

2

．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和平面垂直的判定即性質，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．